問1
衝突前後の運動量の保存則より
\begin{align}
m v &= (4 m) V \\
V &= \frac{1}{4}v
\end{align}
と得られる。従って、答えは①となる。
問2
P 点に達した時の速度を $V’$ とすると、力学的エネルギー保存則より
\begin{align}
\frac{1}{2} (4 m) V^2 &= (4 m) g (2 r) + \frac{1}{2} (4 m) (V’)^2 \\
(V’)^2 &= V^2 – 4 gr
\end{align}
となる。ここで、P 点にギリギリ達するとき、その遠心力と重力は釣り合っているので
\begin{align}
(4 m) g &= (4 m) \frac{(V’)^2}{r} \\
(V’)^2 &= g r
\end{align}
これら2つの式から
$$V’ = \sqrt{5 gr}$$
と求まる。従って、答えは③となる。
問3
小球2について、小球2にかかる重力とばねの復元力が釣り合っているので
\begin{align}
m g &= k s \\
s = \frac{m g}{k}
\end{align}
となり、さらに、小球1については、張力 $T$ と小球1にかかる重力とバネの復元力が釣り合っているので
\begin{align}
T = mg + k s \\
T = mg + mg \\
T = 2 mg
\end{align}
となる。従って、答えは④となる。
問4
小球1 に関する糸を離した直後の運動方程式から
\begin{align}
m a_1 &= mg + kg \\
m a_1 &= 2 mg \\
a_1 &= 2 g
\end{align}
が得られる。また、小球2についての運動方程式から
\begin{align}
m a_2 &= mg – ka \\
a_2 &= 0
\end{align}
が得られる。従って、答えは④となる。
