定圧変化の場合に、温度を $T$ から $T + \Delta T$ だけ変化させると、変化後の状態方程式は
$$p(V + \Delta V) = n R (T + \Delta T)$$
となる。ここで、変化前の状態方程式 $p V = n RT$ を使えば
$$p \Delta V = n R \Delta T$$
が得られる。
ここで、(内部エネルギーの変化) = (加えた熱量) + (気体がされた仕事)なる関係式が成り立つので、気体に与えられた熱量 $\Delta Q$ は
$$\Delta Q = \Delta U + p \Delta V$$
となる。ここで （気体がされた仕事) = – (気体がした仕事) であることを使った。
今、定圧変化なので、気体がした仕事は $p \Delta V$ で表される。
また、このときの定圧モル比熱 $C_p$ は
$$C_p = \frac{\Delta Q}{n \Delta T}$$
であるので、先の式と組み合わせて
\begin{align}
C_p &= \frac{\Delta U}{n \Delta T} + \frac{p \Delta V}{n \Delta T} \\
C_p &= C_v + R
\end{align}
が得られる。ここで、先の関係式 $p \Delta V = n R \Delta T$ を用いた。
なお、この関係式はマイヤーの関係式と呼ばれている。
従って、答えは④となる。
