問1
$v = r \omega$ から
$$\omega = \frac{v}{r}$$
が得られる。
さらに、扇形の円弧の長さは $v \omega \Delta t$ であるので
$$v \omega \Delta t = \frac{v^2}{r}\Delta t$$
より、答えは⑥となる。
問2
万有引力の大きさは
$$ G \frac{m M}{r^2}$$
であり、静電気力の大きさは
$$k_0 \frac{e^2}{r^2}$$
であるので、この比をとれば
$$\frac{G\frac{m M}{r^2}}{k_0\frac{e^2}{r^2}} = \frac{G m M}{k_0 e^2}$$
を求めれば良い。おおよその値で良いことに注意して
$$\frac{G m M}{k_0 e^2} \sim \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.7\times 10^{-27}}{9.0 \times 10^9 \times (1.6\times 10^{-19})} \sim 10^{-40}$$
となり、答えは④となる。
なお、計算では、$9.1 \sim 9.0$, $1.6 \sim 1.7$ などを使い、と大まかな計算で良い。
問3
もちろん
$$E = – k_0 \frac{e^2}{r} + \frac{1}{2}m v^2$$
を計算すれば良いのだが、もう少し簡単な計算で済む方法がある。
電子の運動方程式から
$$m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2}$$
が成り立つので、これより
$$\frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}k_0 \frac{e^2}{r}$$
が言える。
すなわち、 $E$ は静電気力による位置エネルギーの「半分」であることがわかる。
これは、覚えておくと、役に立つこともあるだろう。
この式に $r$ を代入して
$$E = – \frac{1}{2}k_0 \frac{e^2}{\frac{h^2}{4 \pi^2 k_0 m e^2}n^2}$$
$$E = – 2 \pi^2 k_0^2 \times \frac{m e^4}{n^2 h^2}$$
となり、答えは④となる。
水素原子のエネルギー準位は $1/n^2$ に比例することと、各定数の次元を計算すれば、このような計算をしなくても答えを求めることが出来る。
問4
$$E – E’ = h\nu$$
より
$$\nu = \frac{E – E’}{h}$$
となり、答えは ②となる。
次元を見れば、③、④は振動数の次元でないこと、さらに、振動数が正であることから、選択肢を見ただけで正解を選ぶことが出来る。
時間の節約や答えのチェックに使えるテクニックである。
